Capitolo 1

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Numeri reali e complessi e generalità sulle funzioni reali di una variabile reale

L’insieme dei numeri reali

Simbologia insiemi numerici e operazioni in N

Di seguito i simboli che denotano i vari insiemi numerici:

• $N=$ insieme dei numeri naturali (Es: 1,2,3,4,5…)
• $N_0=N\cup \{0\}$ (Es: 0,1,2,3,4,5…)
• $Z=$ insieme dei numeri interi relativi (-2,-1,0,+1,+2)
• $Q$ = insieme dei numeri razionali (Es. tutti i numeri che posso essere scritti come frazione) Ricordiamo il percorso che porta da $N$ a $Q$, i numeri naturali sono concetti primitivi perché legati ad una capacità della nostra mente ovvero quella di “associare”, un altro concetto primitivo è il concetto di “successivo di un numero” che in questa fase indicheremo con $n^{\prime }$. Nei numeri naturali vale il concetto di induzione (se una proprietà è vera per $n=1$, si suppone che sia vera per $n$, e si dimostra vera per $n+1$ allora è vera per tutti gli $n$). Partendo dal principio di induzione si possono definire varie operazioni (somma, prodotto e derivati) in $N$ di seguito elencate: $a,n\in N_0$

1. $a+0=a$
2. $a+n^{\prime }=(a+n{)}^{\prime }$
3. $a\cdot 0=0$
4. $a\cdot n^{\prime }=a\cdot n+a$
5. $a^0=1$
6. $a^{n^{\prime }}=a^n\cdot n$
7. $a+1=a+0^{\prime }=(a+0{)}^{\prime }=a^{\prime }$
8. $a<b$ se esiste $n\in N$ tale che $a+n=b$

proprietà delle potenze

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ $(a^n{)}^m=a^{nm}$ $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$

Inoltre abbiamo delle operazioni inverse (sottrazione e divisione) nate per risolvere dei problemi:

• Sottrazione: trovare $n$ tale che $b+n=a$
• Divisione: trovare $n$ tale che $a=bn$ Essi tuttavia non sono sempre risolubili, infatti il primo lo è solo se $a>b$ e il secondo solo se $a$ è multiplo di $b$, questi problemi hanno portato all’introduzione degli insiemi numerici successivi.

Insiemi numerici successivi ad N

l’insieme dei numeri relativi definito così:

definizione di Z (insieme numeri relativi)

$Z=\{0\}\cup \{+n:n\in N\}\cup \{-n:n\in N\}$

Introducendo le operazioni e l’ordine nella maniera ben nota è subito evidente che il problema della sottrazione in $Z$ è sempre risolto. Associando ad ogni $n\in N$ il numero $+n\in Z$ si ottiene una corrispondenza biunivoca fra $N$ e l’insieme dei numeri interi positivi, quindi possiamo considerare $N$ un sottoinsieme di $Z$.

l’insieme dei numeri razionali definito così:

definizione di Q (insieme dei numeri razionali)

$Q=\{(m,n)|m\in Z,n\in N\}$ questi numeri li rappresentiamo sempre nella forma: $\pm \frac{m}{n}$.

Introducendo le operazioni e l’ordine nella maniera ben nota è subito evidente che anche il problema della divisione in $Q$ è sempre risolto. Associando ad ogni $z\in Z$ il numero $\frac{z}{1}\in Q$ si ottiene una corrispondenza biunivoca fra $Z$ e l’insieme dei numeri razionali con denominatore 1, quindi possiamo considerare $Z$ un sottoinsieme di $Q$. Questo insieme lascia tuttavia irrisolto il problema dell’estrazione della radice ovvero:

Esempio

$\sqrt{2}=?$ questa operazione non ha nessuno soluzione in $Q$

è necessario quindi introdurre un insieme di numeri più ampio ovvero la rappresentazione decimale dei numeri razionali, infatti ogni numero razionale $r=\pm \frac{m}{n}$ ammette una rappresentazione del tipo $a=\pm a_0,a_1{a}_2\dots$ costituita da un segno, un numero intero $a_0$ e una successione di cifre decimali che sono o un numero finito o periodici. A questo punto possiamo introdurre l’insieme dei numeri reali definito così: $\mathbb{R}=\{0\}\cup \{\pm a_0,a_1{a}_2\cdots :a_0\in {\mathbb{N}}_0;a_i\in \{0,\cdots ,9\}\forall i\in \mathbb{N}\}$ i suoi elementi sono detti numeri reali:

• Numeri reali razionali: se hanno una successione periodica di cifre decimali
• Numeri reali irrazionali: se non hanno una successione periodica di cifre decimali

Introduciamo ordine e operazioni in R

• Introduciamo un ordine in R: Per farlo si procede così:
  1. Ogni numero negativo è minore di 0, e ogni numero positivo e maggiore di zero
  2. dati due numeri positivi $a=\pm a_0,a_1\dots$ e $a=\pm b_0,b_1\dots$ diremo maggiore quello in cui la prima cifra diversa è maggiore
  3. dati $a,b<0$ diremo che $a<b$ se $-a>-b$
• Introduciamo la somma in R Per farlo si procede così:
  1. $a+0=a$ per ogni $a\in R$
  2. se $a,b>0$ per ogni $n\in N$ si considera il numero $s_n=\pm a_0,a_1\cdots a_n$ + $\pm b_0,b_1\cdots b_n$ è possibile vedere che da un certo valore di $n$ in poi i 2 numeri hanno la stessa parte intera, la stessa prima cifra. ($n$ è il numero di cifre dopo la virgola)la parte intera si stabilizza per $n=0$, la prima cifra decimale per $n=1$, la seconda cifra decimale per $n=2$, ecc…
  3. se uno dei due numeri è negativo si procede come nel caso dei numeri razionali. Esempio: $-\pi +\sqrt{2}=-(\pi -\sqrt{2})$.
• Rappresentazione dei numeri reali L’insieme dei numeri reali viene rappresentato su una retta dove si costruisce una corrispondenza biunivoca fra $R$ e l’insieme di punti di una retta, associando ad ogni $x\in R$ il punto della retta avente ascissa $x$.

Densità di Q e di R\Q in R

Teorema: Siano $a,b$ due numeri reali con $a<b$. Allora, esistono infiniti numeri razionali $r$ e infiniti numeri irrazionali $s$ tali che $a<r<b$, $a<s<b$. Da questo teorema segue che tra $a$ e $b$ esistono infiniti numeri reali. Spiegazione: Se prendi due numeri reali a e b con a<b, tra di loro non c’è mai un “vuoto”: ci sono sempre infiniti numeri che stanno tra a e b.
Non solo: tra a e b ci sono infiniti razionali (numeri come $\frac{3}{4}$, $-5$, $7.1$ , ecc.) e infiniti irrazionali (numeri come $\sqrt{2}$)Conseguenza

Nomenclature sugli intervalli

Intervalli limitati:

• $]a,b[=\{x\in R:a<x<b\}$ (Intervallo aperto)
• $[a,b]=\{x\in R:a\le x\le b\}$ (Intervallo chiuso) Intervalli non limitati:
• $]a,+\infty [=\{x\in R:x>a\}$ (Intervallo non limitato superiormente)
• $]-\infty ,b[=\{x\in R:x<b\}$ (Intervallo non limitato inferiormente) Intervalli notevoli:
• $]-\infty ,+\infty [=R$
• $(a,b)$ intervallo generico

Intorno di un numero

Un’intervallo del tipo $]c-r,c+r[$ (con $c\in R$ ed $r>0$) viene detto Intorno di c di raggio r e si denota con $B(c,r),I_r(c)$

Proprietà di Archimede

Dati $a,b>0$ esiste un $n\in N$ tale che $na>b$

Insiemi finiti, infiniti, numerabili

Definizione: Siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti, diremo che hanno la stessa potenza se esiste una corrispondenza biunivoca $f:A\to B$ Definizione: Sia $X$ un insieme non vuoto. Diremo che $X$ è finito ed ha $n$ elementi se esiste una corrispondenza biunivoca fra $X$ e l’insieme $\{1,2,\cdots ,n\}$. In caso contrario $X$ è detto infinito. La caratteristica di un insieme infinito $X$ e che esso ha la stessa potenza di un suo sottoinsieme proprio (pur avendo più elementi!). Ad esempio, consideriamo l’insieme $N$ dei numeri naturali e l’insieme $P$ dei numeri naturali pari. Associando ad ogni $n\in N$ il numero $2n\in P$ si ottiene una corrispondenza biunivoca. Definizione Un insieme $X$ si dice numerabile se ha la stessa potenza di $N$. $Z$ e $Q$ sono entrambi numerabili. Per invece $R$ possiamo dire le seguenti cose:

• Tutti gli intervalli hanno la medesima potenza
  • Questo significa che, ad esempio, l’intervallo $(0,1)$, $(2,5)$ o anche $(-\infty ,\infty )$ hanno tutti la stessa cardinalità. Anche se sembrano “lunghi” in modo diverso, da un punto di vista insiemistico, contengono lo stesso numero di elementi.
• La potenza degli intervalli è maggiore della potenza del numerabile
  • un intervallo reale come $(0,1)$ non è numerabile: non esiste un modo per elencare tutti i numeri reali in quell’intervallo.
• $R$ ha la stessa potenza degli intervalli
  • L’insieme dei numeri reali $R$, anche tutto intero (non solo un intervallo), ha la stessa cardinalità di qualsiasi intervallo reale.

Valore assoluto

Se $x\in R$ si chiama valore assoluto di $x$ il numero reale $|x|$ definito ponendo:

• $|x|=x$ se $x\ge 0$
• $|x|=-x$ se $x<0$
  Di seguito le proprietà del valore assoluto:

1. $|x|\ge 0;|x|=0⟺x=0$
2. $|-x|=|x|$
3. $-|x|\le x\le |x|$
4. $|xy|=|x||y|$
5. $a<x<b,a<y<b\Rightarrow |x-y|<b-a$
6. $-a<x<a\iff |x|<a\text{(essendo }a>0\text{)}$
7. $|a+b|\le |a|+|b|$
8. $|a-b|\le |a|+|b|$
9. $|x|<\epsilon \forall \epsilon >0\Rightarrow x=0$

Estremo inferiore ed estremo superiore

Sia $X$ un insieme numerico, ossia un sottoinsieme non vuoto di $R$.

• Minimo: è un elemento $m\in X$ tale che $m\le x$ per ogni $x\in X$ (è unico)
• Massimo: è un elemento $m\in X$ tale che $m\ge x$ per ogni $x\in X$ (è unico)
• Minorante: un numero $h\in R$ è detto minorante di $X$ se $h\le x$ per ogni $x\in X$, denoteremo con ${\underline{M}}_x$ l’insieme dei minoranti di $X$. Osserviamo che:
  • se $h\in {\underline{M}}_x$ e $h^{\prime }<h$ allora $h^{\prime }\in {\underline{M}}_x$, quindi i minoranti di $X$ se esistono sono infiniti
  • $h\notin {\underline{M}}_x$ se esiste un $x\in X:x<h$
  • ${\underline{M}}_x=\varnothing$ se per ogni $h\in R$ esiste $x\in X:x<h$
• Maggioranti: un numero $k\in R$ è detto maggiorante di $X$ se $k\ge x$ per ogni $x\in X$. Denoteremo con $\overline{M_x}$ l’insieme dei maggioranti di $X$. Osserviamo che:
  • se $k\in \overline{M_x}$ e $k^{\prime }>k,$ allora $k^{\prime }\in \overline{M_x}$, quindi i maggioranti di $X$, se esistono sono infiniti
  • $k\notin \overline{M_x}$ se esiste $x\in X:x>k$
  • $\overline{M_x}=\varnothing$ se, per ogni $k\in R$ esiste un $x\in X:x>k$

EXAMPLE

Dato l’insieme $A=\{1,2,3\}$:

• l’insieme dei maggioranti di $A$ è $M=\{x\in R|x\ge 3\}$
• l’insieme dei minoranti di $A$ è $M=\{x\in R|x\le 1\}$

• Limitato inferiormente: $X$ è limitato inferiormente se $\underline{M_x}\ne \varnothing$
• Limitato superiormente: $X$ è limitato superiormente se $\overline{M_x}\ne \varnothing$
• Limitato: è detto limitato se è sia limitato superiormente che inferiormente

In definitiva, un insieme è limitato se e solo se esiste un intervallo che lo contiene, detto ciò possiamo definire il seguente teorema: Teorema:

1. Sia $X$ un insieme limitato inferiormente, allora possiamo dire che $\underline{M_x}$ è dotato di massimo
2. Sia $X$ un insieme limitato superiormente, allora possiamo dire che $\overline{M_x}$ è dotato di minimo Quindi possiamo dire che:

• Estremo inferiore: che denotiamo con $infX$ è uguale al $max\underline{M_x}$, se $X$ non è limitato inferiormente si pone $infX=-\infty$. Dato un numero $l$ questo è l’estremo inferiore di $X$ se e solo se verifica queste proprietà:
  • $L\le x$ $\forall x\in X$
  • $\forall ϵ>0\exists x\in X:x<l-ϵ$
• Estremo superiore: che denotiamo con $supX$ è uguale al $min\underline{M_x}$, se $X$ non è limitato superiormente si pone $supX=+\infty$. Dato un numero $l$ questo è l’estremo superiore di $X$ se e solo se verifica queste proprietà:
  • $L\ge x$ $\forall x\in X$
  • $\forall ϵ>0\exists x\in X:x>l-ϵ$

Nozioni di topologia

Sia $X$ un insieme numerico, di seguito varie nozioni di topologia:

• Punto interno: $c\in X$ è detto punto interno se esiste un $r>0$ tale che $]c-r,c++r[$ $\subseteq X$, indichiamo con $int(X)$ l’insieme dei punti interni.
  • Osserviamo che se $X$ è un intervallo $(a,b)$, i punti interni sono i tutti e soli punti dell’intervallo aperto $]a,b[$
• Punto di frontiera: un numero reale $c$ è detto punto di frontiera per $X$ se per ogni $r>0$ nell’intorno $]c-r,c++r[$ ci sono elementi di $X$ che elementi di $R\text{textbackslash}X$
• Punto di accumulazione: un numero reale $c$ è detto punto di accumulazione per $X$ se, per ogni $r>0$ nell’intorno $]c-r,c+r[$ ci sono elementi di $X$ diversi da $c$. L’insieme dei punti di accumulazione di accumulazione si denota con $D(X)$
• Insieme aperto: $X$ si dice aperto se è vuoto oppure quando $X=int(X)$
• Insieme chiuso: L’insieme $X$ è detto chiuso se il suo complementare $R\backslash X$ è aperto. Si definisce chiusura di $X$ l’insieme $\overline{X}=X\cup D(X)$ ovvero un insieme si dice chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di frontiera
  Osservazioni:
• se un punto è interno allora è di accumulazione
• se un punto è di frontiera potrebbe non essere di accumulazione
  • se $X=[0,1]\cup \{5\}$, il punto$c=5$ è di frontiera ma non di accumulazione.
• $X$ si dice denso in $R$ se $\overline{X}=R$. Dal teorema di densità di $Q$ in $R$ segue che tutti i numeri reali sono punti di accumulazione per $Q$ quindi $\overline{Q}=R$, lo stesso vale per $R\backslash Q$. Si ha dunque, se $(a,b)$ è un intervallo limitato, posto $X=(a,b)\cap Q$ oppure $X=(a,b)\cap (RQ)$, si ha $X=[a,b]$.

Potenze e radici

Se $a\in R$ e $n\in N_0$ si definiscono i seguenti assiomi:

• $a^0$ = 1
• $a^{n+1}$ = $a^n\times a$
• Se $a\in R\backslash \{0\}$ e $n\in N$ si definisce $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ Per definire la potenza nel caso in cui l’esponente sia razionale o irrazionale dobbiamo premettere il seguente teorema

Teorema della radice n-ma aritmetica: Siano $a$ un numero reale positivo ed $n$ un numero naturale maggiore o uguale a 2. Allora esiste uno ed uno solo numero positivo $b$ tale che $b^n=a$, il numero $b$ è detto radice n-ma aritmetica di $a$ e si indica con $\sqrt[n]{a}$

grazie a questo teorema se $a>0$ e $n\in N$ si definisce:

• $a^{\frac{1}{n}}$ = $\sqrt[n]{a}$
• $a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a}{)}^m$ Tutte le potenze definite fino ad adesso sono tutte positive infatti. Inoltre ricordiamo che:
• se $a>1$ sia ha $a^b>1$ se e solo se $b>0$
• se $0<a<1$ si ha $a^b>1$ se e solo se $b<0$ Per poter estendere la definizione di radice (data sopra) dobbiamo discutere l’equazione binomia, come fatto di seguito: Discussione equazione binomia Siano $a\in R$ e $n\in N$ con $n\ge 2$ vogliamo trovare tutti i numeri reali $x$ tali che $x^n=a$, l’equazione $x^n=a$ è detta equazione binomia. Di seguito tutte le soluzioni al variare di $a$

1. $a=0$ l’unica soluzione è $x=0$
2. $a>0$ ci sono 2 soluzioni:
   • $\pm \sqrt[n]{a}$ per $n$ pari
   • $\sqrt[n]{a}$ per $n$ dispari
3. $a<0$:
   • Non ci sono soluzioni per $n$ pari
   • $-\sqrt[n]{-a}$ per $n$ dispari Grazie a quanto appena visto possiamo dire che per ogni $n\in N$ e $\sqrt[n]{x}=-\sqrt[n]{-x}$ per $x<0$ ed $n$ dispari

Logaritmi

Siano $a,b$ due numeri positivi con $a\ne 1$. Si può dimostrare che l’equazione $a^x=b$ ha una e una sola soluzione detta logaritmo di $b$ in base $a$ e indicata con ${\log }_{a}b$ , da questo capiamo che il logaritmo verifica la seguente uguaglianza: $a^{{\log }_{a}b}=b$ Di seguito un po’ di proprietà dei logaritmi: ${\log }_{a}a=1$ ${\log }_{a}b=0⟺b=1$ ${\log }_{a}bc={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$ ${\log }_a{b}^x=x{\log }_{a}b$ ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$ ${\log }_{a}b=({\log }_{a}c)({\log }_{c}b)$ Dalla prima e dall’ultima delle precedenti eguaglianze, si ottiene $1={\log }_{a}a=({\log }_{a}b)({\log }_{b}a)⟹{\log }_{b}a=\frac{1}{{\log }_{a}b}$ Osserviamo inoltre che ${\log }_{a}b>0$ se e solo se $a$ e $b$ sono entrambi maggiori di 1 o minori di 1.

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Cenni sui numeri complessi

Definizione

Definizione: Definiamo numero complesso una coppia ordinata di numeri reali: $z=(a,b)$ con $a,b\in R$. Indichiamo con $C$ l’insieme dei numeri complessi. Equivalenza: se $z=(a,b)$ e $w=(c,d)$ sono due numeri complessi, diremo che $z=w$ se $a=c$ e $b=d$ se $z\ne w$

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Dalla definizione appare chiaro che si possa stabile una corrispondenza biunivoca fra $C$ e il piano cartesiano, facendo corrispondere ad $z=(a,b)$ il punto del piano avente coordinate $(a,b)$.

Notazione:

Dato $z=(a,b)\in C$:

• se $b=0$: $z$ è detto numero complesso reale
• se $b\ne 0$ è detto numero complesso immaginario
• se $a=0$ e $b\ne 0$ numero immaginario puro Convenzioni:
• $0=(0,0)$ zero complesso
• $1=(1,0)$ unità reale
• $i=(0,1)$ unità immaginaria
• $-z=(-a,-b)$ opposto di $z$
• $\overline{z}=(a,-b)$ coniugato di $z$
• $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ modulo di $z$

TIP

Presa un’unita reale $x=(x,0)$ il suo modulo è: $|x|=\sqrt{x^2+0^2}$

Introduciamo le operazioni

• $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$ somma
• $(a,b)\ast (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ prodotto Osservazioni
• $z+(-z)=0$
• $z\ast 1=z$
• $z\ast \overline{z}=|z{|}^2$
• $i^2=(0,1)\ast (0,-1)=(0-1,0+0)=(-1,0)=-1$ (un numero alla seconda che da risultato negativo) È possibile indentificare ogni numero reale $a$ come il numero complesso reale $(a,0)$ si può dunque considerare $R$ come un sottoinsieme di $C$ (per questo possiamo affermare che $i^2=-1$ anche se siamo nel campo complesso)

Forma algebrica e forma trigonometrica

Forma algebrica: Sia $z=(a,b)\in C$ alla luce delle definizione viste prima possiamo osservare che:$z=(a,0)+(0,1)+(b,0)\to z=a+ib$ dopo la freccia troviamo la forma algebrica di $z$, molto utile perché possiamo considerare $z$ come un polinomio in specifico come somma di una “parte reale” ($a$) e di una “parte immaginaria” ($ib$)

Esempio

ottenendo un quoziente dei due numeri, in forma algebrica.

Forma trigonometrica Ricordiamo la costruzione del piano cartesiano: Sia ora $z=a+ib$ un numero complesso non nullo, e sia $P=(a,b)$ il punto del piano che lo rappresenta. Indichiamo con $\alpha$ la misura in radianti del più piccolo angolo di cui deve ruotare il semiasse delle ascisse(x) positive per sovrapporsi in direzione e verso alla semiretta $OP$ orientata da $O$ verso $P$. Se $A$ è la proiezione di $P$ sull’asse delle ascisse, il triangolo $OPA$ è un triangolo rettangolo quindi si ha:

• $a=OA=|z|\cos \alpha$
• $b=AP=|z|\sin \alpha$ Detto ciò possiamo scrivere il numero $z$ nella seguente forma: $z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$

Da forma algebrica a trigonometrica

1. $i=0+1i$ forma algebrica
2. $\alpha =90°=\frac{\pi }{2}$ perché $i$ nel piano cartesiano si trova nell’asse y coord = (0,1)
3. $|i|=\sqrt{0^2+1^2}=1$ calcolo modulo di $i$
4. $i=|i|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$
5. $i=1(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2})$ forma trigonometrica

Prodotto in forma trigonometrica: il prodotto di due numeri in forma trigonometrica dopo varie deduzioni utilizzando la formula di addizione del coseno e seno si deduce facilmente la seguente formula detta formula di Moivre che fornisce la la potenza intera di un numero complesso: $z^n=|z{|}^n(\cos (n\alpha )+i\sin (n\alpha ))$

EXAMPLE

$i^2=1[cos(2\pi )+isin(2\pi ){]}^2=1^2(\cos (2\ast \frac{\pi }{2})+i\sin (2\ast \frac{\pi }{2}))=cos(\pi )+isin(\pi )=-1$

Radici

Siano $z$ un numero complesso e $n$ un intero maggiore o uguale a 2. Un numero complesso $w$ tale che $w^n=z$ è detto radice ennesima di $z$. Di seguito ci proponiamo di trovare tutte le radici ennesime di $z$:

• $z=0$: per la legge dell’annullamento del prodotto l’unica radice è $w=0$.
• $z\ne 0$: in tal caso le eventuali radici saranno evidentemente non nulle. Sia $w$ una di esse Scriviamo $z$ e $w$ in forma trigonometrica
• $z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$
• $w=|w|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ Usando la formula di Moivre scriviamo l’uguaglianza $w^n=z$ in questo modo: $|w{|}^n(\cos \alpha +i\sin \alpha )=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ Da questo concludiamo le seguenti cose:
• $|w{|}^n=|z|\to |w|=\sqrt{n}|z|$
• esiste un $k\in Z:n\beta =\alpha +2k\pi \to \beta =\frac{\alpha +2k\pi }{n}$ Quindi la radice $w$ sarà del tipo: $w_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos \left(\frac{\alpha +2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{\alpha +2k\pi }{n}\right)\right)(\ast )$ Al variare di $k$ nell’insieme $\{0,\dots ,n-1\}$ otteniamo tutte le $n$ radici distinte di $z$

EXAMPLE

Le radici quarte di $i$ sono: $\cos \frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{4}+i\sin \frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{4}$ per $k=0,1,2,3,...$ ovvero le seguenti scritte in forma esponenziale:

• $\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{8}\right)$
• $\cos \left(\frac{5\pi }{8}\right)+i\sin \left(\frac{5\pi }{8}\right)$
• $\cos \left(\frac{9\pi }{8}\right)+i\sin \left(\frac{9\pi }{8}\right)$
• $\cos \left(\frac{13\pi }{8}\right)+i\sin \left(\frac{13\pi }{8}\right)$

Non scriviamo $\sqrt[n]{|z|}$ perché lavorando con $i$ il modulo è sempre 1

Se consideriamo il caso specifico delle radice quadrate avremo le due radici distinte scritte di seguito:

• $w_o=\sqrt{|z|}(\cos \frac{\alpha }{2}+i\sin \frac{\alpha }{2}))$
• $w_1=\sqrt{|z|}(\cos (\frac{\alpha }{2}+\pi )+i\sin (\frac{\alpha }{2}+\pi )))$ allora possiamo dire che $w_1=-w_0$ (grazie alle formule 3 e 4). In particolare possiamo osservare che se $z\in R$:
• se $z>0$, $\alpha =0$ e $|z|=z$ allora si ottengono le due radici $\pm \sqrt{z}$
• se $z<0$, $\alpha =\pi$ e $|z|=-z$ si ottengono le due radici $\pm i\sqrt{-z}$

Example

by ChatGpt

Questa cosa ha delle implicazioni, ad esempio nella formula del $\Delta$ per la risoluzione delle equazioni di secondo grado, infatti in caso di $\Delta$ negativo la formula risolutiva diventa: $\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}\to \frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$

EXAMPLE

Ad esempio, le soluzioni dell’equazione (a coefficienti reali, con discriminante negativo) $z^2-2z+2=0$ sono $z=1\pm \sqrt{-1}=1\pm i$

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Funzioni reali di una variabile reale

Generalità

Sia $f$ una funzione reale definita in un sottoinsieme $X$ di $R$, ovvero $f:X\to R$. Si chiama grafico di $f$ il seguente sottoinsieme di $R^2$: $gr(f)=\{(x,f(x)):x\in X\}$

Definizioni:

• Funzione pari: $f$ si dice pari se e solo se il suo grafico è un insieme simmetrico rispetto all’asse delle ordinate(y) cioè se contiene il punto $(a,b)$ allora contiene anche il punto $(-a,b)$
• Funzione dispari: $f$ è una funzione dispari se e solo se il suo grafico è un insieme simmetrico rispetto all’origine cioè se contiene il punto $(a,b)$ allora contiene il punto $(-a,-b)$
• Funzione periodica: $f$ si dice periodica se esiste un numero positivo $T$ (detto periodo) tale che $\forall x\in R$ si ha $f(x+T)=f(x)$ inoltre $f$ è periodica se e solo se $f(x+hT)=f(x)\forall x\in R,h\in Z$
• Immagine di f: denotata con $f(X)$ l’immagine di $f$ è l’insieme dei valori che la funzione $f$ può assumere.
  • alcuni concetto insiemistici legati ad $f(X)$ vengono per definizione attribuiti ad $f$.
    1. Diremo che $f$ è limitata se lo è l’insieme numerico $f(X)$.
    2. Gli estremi inferiore e superiore e gli eventuali minimo e massimo di $f(X)$ verranno chiamati estremi inferiore e superiore, minimo e massimo di $f$. L’estremo inferiore si indica con $in{f}_{X}f$
    3. Se $f$ ha il minimo esso viene chiamato minimo assoluto di $f$ in $X$, sia esso $m=mi{n}_X$. Dato che $m$ è un valore della funzione allora esiste un punto $c$ tale che $f(c)=m$ e viene chiamato punto di minimo assoluto. In modo analogo si introducono il massimo assoluto e il punto di massimo assoluto.
• Oscillazione di f: chiamiamo oscillazione di $f$ la quantità $sup\{|f(x)-f(y)|x,y\in X\}$

Tip

Di seguito supporremo normalmente che l’insieme di definizione di $X$ di $f$ sia un intervallo $(a,b)$

Funzione composta

Siano date due funzioni:

• $f:(\alpha ,\beta )\to R$
• $g:(a,b)\to (\alpha ,\beta )$ allora per ogni $x\in (a,b)$ è possibile porre $F(x)=f(g(x))$. La funzione $F:(a,b)\to R$ definita in questo modo viene detta funzione composta da f (funzione esterna) e g(funzione interna).

Estremi relativi:

• Un punto $c\in (a,b)$ è detto punto di minimo relativo per $f$ se esiste un suo intorno $I=]c-r,c+r[$ tal che $f(x)\ge f(c)$ per ogni $x\in I$
• Un punto $c\in (a,b)$ è detto punto di massimo relativo per $f$ se esiste un suo intorno $I=]c-r,c+r[$ tal che $f(x)\le f(c)$ per ogni $x\in I$ Un punto di estremo assoluto e anche di estremo relativo, ma non il viceversa.

Monotonia

Sia data una funzione $f:(a,b)\to R$ si dice che questa è monotona se soddisfa una delle seguenti condizioni:

• crescente: se $x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)$
• strettamente crescente: se $x<y\Rightarrow f(x)<f(y)$
• decrescente: se $x<y\Rightarrow f(x)\ge f(y)$
• strettamente decrescente: se $x<y\Rightarrow f(x)>f(y)$ Notiamo subito che una funzione strettamente monotona è iniettiva, quindi invertibile. Si vede facilmente che anche la sua funzione inversa gode dello stesso tipo di monotonia. Possiamo introdurre anche il concetto di monotonia locale, ovvero dato una punto $c\in (a,b)$ si dice che la funzione è crescente nel punto $c$ se esiste $s>0$ tale che:
• se $x\in ]c-s,c[$ si ha $f(x)<f(c)$
• se $x\in ]c,c+s[$ si ha $f(x)>f(c)$ in modo simmetrico si introduce il concetto di funzione decrescente.

Rapporto incrementale

Sia $f:(a,b)\to R$ e sia $c\in (a,b)$. Per ogni $x\in (a,b)\backslash \{c\}$ poniamo: $r(x)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\text{ oppure }R(h)=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$ $r(x)\text{ oppure }R(h)$ viene chiamato rapporto incrementale di $f$ relativo al punto $c$, questo è utile per verificare la monotonia locale di $f$ grazie al seguente teorema: Teorema La funzione $f$ è crescente (o decrescente) nel punto $c$ se e solo se esiste un intorno $I_s(c)$ tale che, per ogni $x\in I_s(c)\backslash \{c\}$ si abbia $r(x)>0$ (o $r(x)<0$) Dimostrazione Supponiamo che $r(x)>0$ in $I_s(c)c$. In $]c-s,c[$ il denominatore di r e negativo, quindi lo e anche il numeratore: dunque, $f(x)<f(c)$. In $]c,c+s[$ il denominatore di $r$ e positivo, quindi lo e anche il numeratore: dunque, $f(x)>f(c)$. Ne segue che $f$ e crescente nel punto $c$. Il viceversa si prova allo stesso modo.

Funzione convessa

La funzione $f:(a,b)\to R$ è detta convessa se per ogni $x,y\in (a,b)$ e per ogni $t\in [0,1]$ si ha: $f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)$in italiano significa che la porzione di grafico compresa tra le ascisse $x$ e $y$ è al di sotto di un segmento che congiunge questi due punti: $(x,f(x))$ e $(y,f(y))$. La nozione di convessità la possiamo esprimere anche così: $epi(f)=\{(x,y)\in R^{2}x(a,b),y\ge f(x)\}$ ovvero la porzione di grafico che sta al di sopra del grafico

Si prova che la funzione f è convessa se e solo se $epi(f)$ e un sottoinsieme convesso di $R^2$, cioè, se contiene due punti, contiene anche il segmento che li congiunge.

Funzioni elementari

Di seguito alcune funzioni che nascono dalle operazioni definite in $R$ dette funzioni elementari, la funzione inversa di una funzione elementare è anche essa elementare.

• Funzione constante: Se $k\in R$ la funzione $f(x)=k$ è definita in $]-\infty ,+\infty [$
• Funzione identità: funzione $f(x)=x$ è definita in $]-\infty ,\infty [$
• Funzione potenza con esponente intero positivo: Se $n\in N$ la funzione $f(x)=x^n$ è definita in $]-\infty ,\infty [$
• Funzione potenza con esponente intero negativo: Se $n\in N$ la funzione $f(x)=x^{-n}$ è definita in $]-\infty ,\infty [\backslash \{0\}$
• Funzione con esponente razionale: se $\frac{m}{n}\in Q$, la funzione $f(x)=x^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{x}{)}^m$ ed è definita in:
  • in $[0,+\infty [$ se $\frac{m}{n}>0$
  • in $]0,+\infty [$ se $\frac{m}{n}<0$
• Funzione con esponente irrazionale: se $s\in R\backslash Q$, la funzione $f(x)=x^s$ è definita in:
  • in $[0,+\infty [$ se $s\ge 0$
  • in $]0,+\infty [$ se $s<0$
• Radice n-ma: Se $n\in N,n\ge 2$ la funzione $f(x)=\sqrt[n]{x}$ è definita in
  • $]-\infty ,+\infty [$ se $n$ è dispari
  • $[0,+\infty [$ se $n$ è pari
• Funzione esponenziale: Se $a>0,a\ne 1$ la funzione $f(x)=a^x$ è definita in $]-\infty ,\infty [$
• Funzione logaritmica: Se $a>0,a\ne 1$ la funzione $f(x)=lo{g}_{a}x$ è definita in $]0,+\infty [$
• Funzione Coseno e seno: Per ogni $x\in R$ si consideri il punto $P$, l’ascissa e l’ordinata di P sono dette rispettivamente $\cos x$ e $\sin x$, le funzioni $f(x)=\cos x$ e $g(x)=\cos x$ sono definite in $]-\infty ,\infty [$
• Funzione tangente: la funzione $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ è definita in $]-\infty ,\infty [\backslash \{\frac{\pi }{2}+k\pi :k\in Z\}$
• Funzione arcocoseno e arcoseno: Per ogni $y\in [-1,1]$ sia $x$ l’unico punto dell’intervallo $[0,\pi ]$ tale che $\cos x=y$, si definisce così la funzione $\arccos y$ inversa di $\cos x$ nell’intervallo $[0,\pi ]$. In modo analogo si introduce la funzione $\arcsin y$ inversa di $\sin x$ nell’intervallo $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$
• Funzione arcotangente: come visto per il punto precedente si costruisce per ogni $y\in ]-\infty ,\infty [$ la funzione $\arctan y$ inversa di $\tan x$
• Funzione polinomi: Se $n\in N_0$ e $a_0,a_1,\dots ,a_n\in R$ la funzione $p(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n$ definito in $]-\infty ,\infty [$
• Funzioni razionali fratte: la funzione $f(x)=\frac{a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n}{b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_m}$ ($a_i,b_j\in R,n\in N_0,m\in N,b_0\ne 0$) è definita in $]-\infty ,\infty [\backslash \{c\in R:b_0{c}^m+\cdots +c_m=0\}$

Osservazioni sulle funzioni elementari

Di seguito un po’ di osservazioni sulle funzioni elementari:

• Se $n$ è pari la funzione $f(x)=x^n$ è pari ed è strettamente crescente in $[0,+\infty [$ e la sua inversa (ovvero $\sqrt[n]{x}$) è strettamente decrescente in $]-\infty ,0]$.
• Se $n$ è dispari la funzione $f(x)=x^n$ è dispari ed è strettamente crescente in $]-\infty ,\infty [$
• Se $n=0$ il polinomio si dice costante si ha cioè $p(x)=a_0$ per ogni valore di $x$. Due polinomi $p(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n$ e $P(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_m$ si dicono identici se $p(x)=P(x)$ per ogni $x\in R$, inoltre si può dimostrare che $p$ e $P$ sono identici se e solo se:
  • $m=n$
  • $b_i=a_i$ per ogni $i=0,\dots ,n$
• Dati due polinomi $p$ e $P$ esiste un polinomio $q$ (quoziente) ed un polinomio $r$ (resto) tale che: $p(x)=P(x)q(x)+r(x)$
• L’equazione $p(x)=0$ detta equazione algebrica ha esattamente $n$ soluzioni distinte, se $k$ d tali soluzioni coincidono, detto $\alpha$ il loro comune valore, si dice che $\alpha$ è una soluzione di molteplicità $k$ (questi zeri possono essere anche numeri immaginari)
• Supponiamo che il numeratore e il denominatore di $f$ siano polinomi primi fra loro (privi di divisori comuni). Si può dimostrare che $f$ può essere espressa come somma di frazioni del tipo $\frac{A}{(x-a{)}^n}$ ($A,a\in R,n\in N$) e di frazioni del tipo $\frac{A_x+B}{(x^2+k^2{)}^n}$ $(A,B,k\in R,n\in N)$ dette fratti semplici. Per trovare i fratti semplici è necessario trovare gli zeri del polinomio al denominatore.

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Cose da ricordare

Formule della trigonometria

Id	Formula	Nome / Spiegazione
1	$\sin (-\theta )=-\sin \theta$	Seno è una funzione dispari
2	$\cos (-\theta )=\cos \theta$	Coseno è una funzione pari
3	$\sin (\theta +\pi )=-\sin \theta$	Traslazione di mezzo giro
4	$\cos (\theta +\pi )=-\cos \theta$	Come sopra
5	$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$	Formula della somma per il seno
6	$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$	Formula della somma per il coseno
7	$\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$	Formula della differenza per il seno
8	$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$	Formula della differenza per il coseno

Formule utili per il calcolo del dominio

Tipo di funzione	Forma	Dominio	Note
Costante	$f(x)=k$	$\mathbb{R}$	Definita ovunque
Identità	$f(x)=x$	$\mathbb{R}$
Polinomiale	$f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0$	$\mathbb{R}$
Potenza $n\in \mathbb{N}$	$f(x)=x^n$	$\mathbb{R}$
Potenza negativa	$f(x)=x^{-n}$	$\mathbb{R}\setminus \{0\}$	Denominatore diverso da 0
Potenza razionale (pari)	$f(x)=x^{\frac{m}{n}},n$ pari	$[0,+\infty )$ se $\frac{m}{n}>0$ $]0,+\infty [$ se $\frac{m}{n}<0$	Dipende dal segno dell’esponente
Potenza razionale (dispari)	$f(x)=x^{\frac{m}{n}},n$ dispari	$\mathbb{R}$
Potenza irrazionale	$f(x)=x^s$ con $s\notin \mathbb{Q}$	$[0,+\infty )$ se $s\ge 0$ $]0,+\infty [$ se $s<0$
Radice $n$-esima (pari)	$f(x)=\sqrt[n]{x}$ con $n$ pari	$[0,+\infty )$
Radice $n$-esima (dispari)	$f(x)=\sqrt[n]{x}$ con $n$ dispari	$\mathbb{R}$
Esponenziale	$f(x)=a^x$	$\mathbb{R}$	$a>0,a\ne 1$
Logaritmica	$f(x)={\log }_{a}x$	$]0,+\infty [$	$a>0,a\ne 1$
Seno	$f(x)=\sin x$	$\mathbb{R}$	Periodica
Coseno	$f(x)=\cos x$	$\mathbb{R}$	Periodica
Tangente	$f(x)=\tan x$	$\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}$
Arcoseno	$f(x)=\arcsin x$	$[-1,1]$	Inversa del seno
Arcocoseno	$f(x)=\arccos x$	$[-1,1]$	Inversa del coseno
Arcotangente	$f(x)=\arctan x$	$\mathbb{R}$	Inversa della tangente
Razionale fratta	$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$	$\mathbb{R}\setminus \{x:Q(x)=0\}$	Denominatore diverso da 0